您好、欢迎来到现金彩票网!
当前位置:21点 > 子集覆盖 >

微分几何学习笔记 (2)- 微分流形(Manifold)

发布时间:2019-08-09 22:37 来源:未知 编辑:admin

  假定有一个拓扑空间M,存在一个由M上的若干开集(Open Set)组成的集合

  如果M上存在一个开覆盖,并且满足下面两个条件,则称M为一个n维的流形(Manifold)。

  对于这个开覆盖中的任意一个开集Oα,存在一个从Oα到拓扑空间Rn上的某个开子集的同胚映射。(注意:Rn的拓扑结构在没有特殊声明的时候取通常拓扑(Usual topology),即可表示为开球之并的子集的集合)

  对于开集Oα和开集Oβ,如果它们的交集不为空,则从Vα到Vβ上的复合映射的无限阶连续(任意阶导函数存在且连续)。

  流形(Manifold)的维数是由映射ψ决定的,ψ将一个开集映射到一个几维的空间上,流形的维数就是几。

  第一个条件使得一个n维的流形(Manifold)的局部上看起来像一个Rn。

  第二个条件保证了不同的开集之间的相容性,又叫做相容性条件(Compatibility condition)。

  对于M上的某个点,通过ψ映射得到了Rn上的一组数(x1,...,xn),这一组数称作这个点在ψ映射下对应的自然坐标。

  对于M中红色区域中的点,在ψα和ψβ的映射下得到了(x1,...,xn),(x1,...,xn)两个不同的自然坐标,而这两个不同的自然坐标可以通过之前提到的复合映射进行变换,这就是所谓的坐标变换(Coordinate transformation)。

  一般将流型上的某个开集O和其对应的映射ψ称作一个坐标系(Coordinate system),或者图(Chart),记作(O, ψ)。

  通过在开覆盖中给定其它满足条件的同胚映射,可以得到不同的坐标系(Coordinate system)或者图(Chart)。如果要使用极坐标来表示2维流型上的某个点,只需要按照上面说的找到其相应的映射即可。

  由于图中四个相交的部分都等效,可以取其中一个加以证明,如黄色和绿色相交的地方。

  黄色区域的点在该坐标系下的坐标的值为该点在R2下自然坐标的横坐标,即x,同理绿色区域的点在其坐标系下的坐标为y。

  当这两个图册不相容(O1和O2的交集不为空,并且从O1到O2的复合映射不是无限阶连续),这个时候就在同一个拓扑空间上定义了两个不同流形。

  一开始谈流形的时候说过:一个拓扑空间再加上一个微分结构,称为流形。那么对于这两个流形,它们的拓扑结构是相同,不同的是它们微分结构。

  而当这两个图册相容的时候,可以把这两个图册合并为一个更大的图册{ (O1, ψ1), (O2, ψ2) },这样3个图册定义出来流形的是一样的。为了方便,一般定义一个流形都取最大的图册。

  假定存在一个从流形M到流形M’上的映射f,根据流形的定义,分别选定它们开覆盖上的开集O和O,且它们分别存在从自身到对应维度的拓扑空间Rn和Rn上的某个开子集的同胚映射,如下图所示

  观察图中的映射关系,可以发现映射f是ψ、g和ψ逆映射的复合,根据流形的定义可以知道ψ和ψ为同胚映射,所以要看映射f的连续性,只需要看映射g的连续性,如果g是无限阶连续的,则f也是无限阶连续的。

  之前提到,两个拓扑空间的映射如果是One to one和onto,并且正反映射都是C0连续的,则称它们是同胚的。

  同样地,两个流形之间的映射如果是One to one和onto,并且正反映射都是无限阶连续的,则称它们是微分同胚(Diffeomorphism)的。

  假定存在一个从流形M到实数域R上的映射f,则称映射f为一个函数(Function)或者标量场(Scaler field)。

  以前我们考虑一个n元函数需要给定一个n元的自变量,换句话说就是要给定一个坐标,而对于流形M上的同一个点,由于给定的坐标系或图不同,得到的坐标也不同。不同的坐标通过函数得到的函数值相同,所以这几个函数的函数关系也不同。

  所以,对于之前理解的函数,他是依赖于坐标系或图,它是相对的。而这里的我们所提到的函数是不依赖于具体坐标系,它是绝对的。

  所以为了防止混淆,把这个从流形M到实数域R上的映射f称作标量场更加合适。

  全集是开子集,全集的补集是空子集,所以空集是闭子集,而空集又是开子集,所以空集即开又闭,反之同理可以得到全集也是既开又闭的。

  如果一个拓扑空间的既开又闭的子集只有两个,则称它是连通的(Connected)。

  还有一个和上面连通性定义比较像的定义:对于一个拓扑空间内的任意两点,如果它们都能够被处于该拓扑空间内部的一条曲线连接,则称它是弧连通。

  1、欧氏空间流形流形上每一点的邻域和欧氏空间的一个开集同胚,在此邻域可引入局部坐标系。流形可以看作一块块欧氏空间粘合起来。coordinatepatches【与的一个开集同胚,则称为m维流形】2、...博文来自:weixin_38716567的博客

  陈省身发表了大量的数学论文,但在这本文集中只收录这一篇(全部学术专著和论文的目录见附录)。原因是,陈省身把这篇论文作为他的代表作收入了《数学中的沃尔夫奖》一书。原文发表于美国《AnnalsofMa...博文来自:u010401391的专栏

  记录矩阵F范数、2范数与正交矩阵相乘的范数不变性,有些地方也叫做保范性。首先明确一下正交矩阵AA=AA=I先看矩阵的2范数,即矩阵A的2范数定义为A最大的奇异值。对A做奇异值分解,不妨记作A=US...博文来自:开飞机的小毛驴儿

  准备学习这本书,目标是弄清楚现代微分几何基本概念在古典微分几何中的动机...博文来自:weixin_41819606的博客

  由于种种原因要恶补一下微分流形和黎曼几何,吸取一下“前辈”们的经验,也希望大家能提供一些更好的经验! 1 自几何佳缘在这方面我是很有感受的。我整理了一些心得笔记,打算以后给学生上课的时候,把这些内功心...博文来自:西西弗的石头

  《微分流形及其应用》作者 : 杨万年主编 出版时间 : 1992年 出版社: 重庆大学出版社下载

  由于种种原因要恶补一下微分流形和黎曼几何,吸取一下“前辈”们的经验,也希望大家能提供一些更好的经验!1自几何佳缘在这方面我是很有感受的。我整理了一些心得笔记,打算以后给学生上课的时候,把这些内功心法传...博文来自:的博客

  一种人工智能学习–兼谈基于微分几何与拓扑的神经网络标签(空格分隔):人工智能神经网络拓扑微分几何深度学习版权声明:本文为作者原创文章,未经作者允许不得转载。前言提到人工智能,相信对机器学习、神经网络、...博文来自:hjwang1的专栏

  拓扑(Topology)不准确地说拓扑就是某个集合上开子集组成的集合。需要注意的是定义开子集的过程是定义拓扑,一个拓扑配上它的集合就称作一个拓扑空间(TopologicalSpace)。选取拓扑的过程...博文来自:weixin_33744141的博客

  微分几何I——度量、标架\quad\quad微分几何的出发点是微积分,一条曲线的切线和微分是同一概念,一条封闭曲线包围的面积相当于对其内部积分。微积分在几何上应用主要是曲线和曲面。首先考虑空间正则曲线...博文来自:u014446042的专栏

  上一章讲了流形学习,那么流形是什么还没解决,于是找到了一篇比较科普性质的文章,这里与大家分享转自:年,28岁的黎曼在哥...博文来自:小白的专栏

  这两天在看有关“流形”的东西。在网上能够找到的相关资料不要太多。其中,大部分(几乎所有)资料的目标似乎是让初学者放弃学习。对比了各种来源的相关资料之后,小编发现:对“流形”最好的讲解在维基突然感慨,墙...博文来自:图形跟班

  1.参数方程所谓参数方程其实和普通方程类似,都是自变量和因变量的关系。而更为直观地理解是,参数方程是普通方程的延伸,例如:在参数方程中很多时候用到了时间变量‘t’,进而用时间变量‘t’作为变参数去替换...博文来自:三眼二郎

  上一节学到了向量函数,其实不难发现我们接触向量函数肯定比知道这个向量函数的概念要早。通过上一章了解了向量函数的求微和求积,以后也不会考虑很多的,直接对单个求就行了。因为向量函数求微/积就是每个组成向量...博文来自:三眼二郎

  对于流形,我在机器学习中的认识就是局部欧式距离的应用,当然其背后强大的数学逻辑也不是一时可以窥全貌,只好先看看一些基础概念。1、基本概念流形,是局部具有欧几里得空间性质的空间,是欧几里得空间中的曲线、...博文来自:专注于数据挖掘算法研究和应用

  最近一直再看属性选择和聚类方向的论文,其中一直有提到manifold这个概念,从网络上学习一波,将学习结果记录下来给大家分享流形是一种空间,一个流形好比是一个d维的空间,在一个m维的空间中(m&...博文来自:的博客

  从SNE到t-SNE再到UMAP的降维算法进化史(一)降维算法概述流形学习距离的定义KNN图与流形降维KNN图SNE算法降维算法概述降维,顾名思义就是把数据或者特征的维度降低,一般分为线性降维和非线性...博文来自:happyhorizon的算法天空

  上一节我们讲到了标架,空间坐标系可以用标架{O;e1,e2,e3}来表示,这时候点O就可以叫做坐标原点,而向量e1,e2,e3都叫做坐标向量。同时也讲到了标架之间的转换,也就是空间中坐标系之间的转换。...博文来自:三眼二郎

  曲面上的特殊点特殊方向与特殊曲线,曲面上的诸曲线网,特殊曲面与特殊曲线的几何特征,部分几何量的几何意义

  这本书是Ovidiu Furdui在过去十年中教授,研究和解决问题的成果。 本书提供了一个不寻常的问题集合,专门研究数学分析的三个主题:极限,级数和分数部分积分。 全书共分三章,每章分别讨论一个具体的题目和两个附录。 每一章都包含一些由书...

  微分几何彭家贵答案,是前5章所有题目的答案,百度文库上的只有部分答案,而我这个是所有题目的答案

  微分几何与拓扑学简明教程,《微分几何与拓扑学简明教程》适合数学、物理及相关专业的高年级本 科生、研究生、高校教师和研究人员参考使用。

  、自适应及鲁棒控制].(意)Riccardo.Marino.清晰版.pdf

  论基于微分几何的机器智能-兼谈机器人的环境感知与智主移动●序言●第一章当前智能算法卷积网络机器学习深度学习可能的缺陷●第二章微分几何与智能人脸及表情识别与微分几何视觉与微分几何大脑皮层与微分几何物理可...博文来自:hjwang1的专栏

  高斯曲率Ricci曲率考虑曲面上的封闭曲线,博文来自:u014446042的专栏

http://libroebook.com/zijifugai/320.html
锟斤拷锟斤拷锟斤拷QQ微锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷微锟斤拷
关于我们|联系我们|版权声明|网站地图|
Copyright © 2002-2019 现金彩票 版权所有